题目内容
【题目】设函数,
(1)当时,求
的单调区间;
(2)①证明:当时,函数
在
上恰有一个极值点
;
②求实数的取值范围,使得对任意的
,恒有
成立.
注:为自然对数的底数.
【答案】(1)的单调递增区间为
,单调递减区间为
,(2)①证明见解析;②
.
【解析】
(1)求导后,由得递增区间,由
得递减区间;
(2)①求导两次后,利用零点存在性定理和极值点的概念可证结论;②当时,根据单调性可知不合题意,当
时,利用①的结论,可知
在
上的最大值为
,再将恒成立转化为最大值即可解决.
(1)当时,
,
,
由,得
,由
,得
,
所以的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)①证明:当时,
,
令,则
,
因为,所以
,
当时,
,,当
时,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
因为,
,
根据零点存在性定理可知,函数在
上有唯一实根,设为
,则
,
所以当时,
,当
时,
,
所以函数在
上递减,在
上递增,所以
在
处取得极小值,
所以当时,函数
在
上恰有一个极值点
.
②当时,
,由①知
在
上恒成立,
所以在
上为增函数,所以
,
所以在
上递增,所以
恒成立, 不合题意,
当时,由①知,函数
在
上递减,在
上递增,
设函数在
上的最大值为
,则
,
若对任意的,恒有
成立.
则,因为
,所以由
得
,
得,得
,得
,
因为,所以
.
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练习册系列答案
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【题目】某城市随机抽取一年(天)内
天的空气质量指数
的监测数据,结果统计如下:
空气质量 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 中度重污染 | 重度污染 |
天数 |
(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失(单位:元)与空气质量指数
(记为
)的关
系式为:
试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失大于
元且不超过
元的概率;
(2)若本次抽取的样本数据有天是在供暖季,其中有
天为重度污染,完成下面
列联表,并判断能否有
的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?
非重度污染 | 重度污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | > | ||
合计 |
附: