题目内容
【题目】某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏,已知骰子每面朝上的概率都是,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,……,第100站.一枚棋子开始在第0站,选手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次,若掷出朝上的点数为1或2,棋子向前跳两站;若掷出其余点数,则棋子向前跳一站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束;设游戏过程中棋子出现在第站的概率为.
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀骰子3次后,求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望;
(2)证明:;
(3)若最终棋子落在第99站,则记选手落败,若最终棋子落在第100站,则记选手获胜,请分析这个游戏是否公平.
【答案】(1)详见解析(2)证明见解析;(3)游戏不公平,详见解析
【解析】
(1)随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6,计算概率得到分布列,计算得到数学期望.
(2)根据题意得到,化简得到.
(3)计算得到,,得到答案.
(1)随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6,
,
,
所以,随机变量X的分布列为:
.
(2)由题意知,当时,棋子要到第站,有两种情况:
①由第n站跳1站得到,其概率为;
②由第站跳2站得到,其概率为
,,
,
(3)由(2)知,当棋子落到第99站游戏结束的概率为,
当棋子落到第100站游戏结束的概率为,
,最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率,
游戏不公平.
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