题目内容
【题目】如图，已知抛物线
，设直线
经过点
且与抛物线
相交于
两点，抛物线在
、
两点处的切线相交于点
，直线
，
分别与
轴交于
、
两点.
（1）求点的轨迹方程
（2）当点不在轴上时，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最小值.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
（1）首先设出
，
，利用导数的几何意义求出切线
，
的方程，联立得到交点
的坐标.再设出直线
的方程为
，代入抛物线，利用根系关系即可得到点的轨迹方程.
（2）首先根据切线，的方程得到
，
，从而得到
，
.利用弦长公式和点到直线的距离公式得到
，从而得到
.令
，得到
，再利用基本不等式即可得到
的最值.
（1）因为抛物线
，所以
，
.
设，，
，
.
则切线，的方程分别为
和
.
联立
解得交点的坐标为:
，
.
设直线的方程为，代入
，
整理得：
，
所以
，
，且
.
所以
，
，于是
，
故点的轨迹方程为.
（2）因为切线的方程为，
令
得到，同理：.
所以.
又
，故.
由（1）可知
，
又点到直线
的距离为
，
所以.
所以.
令，
，则
.
①当
时，
，当且仅当
时取“
”.
所以
；
②当
时，
，
，
，
当且仅当
时取“”.
所以
；
综上所述：的最小值为
.
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