题目内容
【题目】如图,已知抛物线,设直线
经过点
且与抛物线
相交于
两点,抛物线
在
、
两点处的切线相交于点
,直线
,
分别与
轴交于
、
两点.
(1)求点的轨迹方程
(2)当点不在
轴上时,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最小值.
【答案】(1)(2)4
【解析】
(1)首先设出,
,利用导数的几何意义求出切线
,
的方程,联立得到交点
的坐标.再设出直线
的方程为
,代入抛物线,利用根系关系即可得到点
的轨迹方程.
(2)首先根据切线,
的方程得到
,
,从而得到
,
.利用弦长公式和点到直线的距离公式得到
,从而得到
.令
,得到
,再利用基本不等式即可得到
的最值.
(1)因为抛物线,所以
,
.
设,
,
,
.
则切线,
的方程分别为
和
.
联立解得交点
的坐标为:
,
.
设直线的方程为
,代入
,
整理得:,
所以,
,且
.
所以,
,于是
,
故点的轨迹方程为
.
(2)因为切线的方程为
,
令得到
,同理:
.
所以.
又,故
.
由(1)可知,
又点到直线
的距离为
,
所以.
所以.
令,
,则
.
①当时,
,当且仅当
时取“
”.
所以;
②当时,
,
,
,
当且仅当时取“
”.
所以;
综上所述:的最小值为
.
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