Question

5．已知椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线$y=\sqrt{2}$过椭圆的焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，并满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1$，过P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆方程和点P坐标；
（2）求证直线AB的倾斜角为定值．

Answer 1

分析 （1）通过直线$y=\sqrt{2}$过椭圆的焦点可知c=$\sqrt{2}$，结合e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$计算可知a=2、b²=a²-c²=2，进而可得椭圆方程，通过设点P（x，2$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{2}}$），利用$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1$计算即得结论；
（2）通过（1）可知P（1，$\sqrt{2}$），通过设直线PA的方程为x=m（y-$\sqrt{2}$）+1、则直线PB的方程为x=-m（y-$\sqrt{2}$）+1，并分别与椭圆方程联立计算可知点A、B的坐标，进而计算可得结论．

解答 （1）解：∵直线$y=\sqrt{2}$过椭圆的焦点，
∴焦点坐标为F₁（0，$\sqrt{2}$），
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=2，b²=a²-c²=4-2=2，
∴椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，
依题意，设点P（x，2$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{2}}$），
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1$，
∴（x，2$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{2}}$-$\sqrt{2}$）•（x，2$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{2}}$+$\sqrt{2}$）=1，
整理得：x²=1，
∴P（1，$\sqrt{2}$）；
（2）证明：由（1）可知P（1，$\sqrt{2}$），
依题意设直线PA的方程为：x=m（y-$\sqrt{2}$）+1，
则直线PB的方程为：x=-m（y-$\sqrt{2}$）+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=m（y-\sqrt{2}）+1}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，消去x整理得：
（1+2m²）y²+4m$（1-\sqrt{2}m）$y+4m²-$4\sqrt{2}m$-2=0，
∵y_A+$\sqrt{2}$=$\frac{4m（\sqrt{2}m-1）}{1+2{m}^{2}}$，
∴y_A=$\frac{4m（\sqrt{2}m-1）}{1+2{m}^{2}}$-$\sqrt{2}$，
∴x_A=m[$\frac{4m（\sqrt{2}m-1）}{1+2{m}^{2}}$-2$\sqrt{2}$]+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-m（y-\sqrt{2}）+1}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，消去x整理得：
（1+2m²）y²-4m$（1+\sqrt{2}m）$y+4m²+$4\sqrt{2}m$-2=0，
∵y_B+$\sqrt{2}$=$\frac{4m（1+\sqrt{2}m）}{1+2{m}^{2}}$，
∴y_B=$\frac{4m（1+\sqrt{2}m）}{1+2{m}^{2}}$-$\sqrt{2}$，
∴x_B=-m[$\frac{4m（1+\sqrt{2}m）}{1+2{m}^{2}}$-2$\sqrt{2}$]+1，
∴k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线AB的倾斜角为定值．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．