Question

13．已知命题p：?x∈R，x²+mx+1≥0，命题q：双曲线$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{m}$=1（m＞0）的离心率$e∈（\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞）$．
（Ⅰ）写出命题p的命题否定?p；并求出m的取值范围，使得命题?p为真命题；
（Ⅱ）如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）?p：?x₀∈R，$x_0^2+m{x_0}+1＜0$，若?p为真命题，则△＞0，解出即可得出．
（II）p：若?x∈R，x²+mx+1≥0为真命题时，由△≤0，解出m的取值范围．
q：双曲线$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{m}=1$的离心率$e∈（\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞）$为真命题时，则$\frac{\sqrt{2+m}}{\sqrt{2}}$$＞\frac{\sqrt{5}}{2}$．由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，故命题p、q中有且仅有一个真命题，解出即可得出．

解答 解：（I）?p：?x₀∈R，$x_0^2+m{x_0}+1＜0$，
若?p为真命题，则△=m²-4＞0，解得：m＜-2，或m＞2
故所求实数m的取值范围为：（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（II）p：若?x∈R，x²+mx+1≥0为真命题时，由△=m²-4≤0m的取值范围为-2≤m≤2．
q：双曲线$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{m}=1$的离心率$e∈（\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞）$为真命题时，则$m＞\frac{1}{2}$．
由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，故命题p、q中有且仅有一个真命题，
当p真q假时，实数m的取值范围为：$[{-2，2}]∩（0，\frac{1}{2}]=（0，\frac{1}{2}]$．
当p假q真时，实数m的取值范围为：$[{（{-∞，-2}）∪（{2，+∞}）}]∩（{\frac{1}{2}，+∞}）=（{2，+∞}）$，
综上可知实数m的取值范围：$（0，\frac{1}{2}]∪（{2，+∞}）$．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、双曲线的离心率、一元二次方程有实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．