Question

20．已知命题p：函数$f（x）={x^3}+a{x^2}+（a+\frac{4}{3}）x+6$在（-∞，+∞）上有极值；命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个相异实根均大于3．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：f′（x）=3x²+2ax+a+$\frac{4}{3}$，由于函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值，可得f′（x）=0有两个不等实数根，△＞0，解得a范围．
命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个相异实根均大于3．令f（x）=x²-3ax+2a²+1，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=2{a}^{2}-9a+10＞0}\\{△=9{a}^{2}-4（2{a}^{2}+1）＞0}\end{array}\right.$，且$\frac{3a}{2}$＞0，解得范围．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则p与q必然一真一假．

解答 解：命题p：函数$f（x）={x^3}+a{x^2}+（a+\frac{4}{3}）x+6$，f′（x）=3x²+2ax+a+$\frac{4}{3}$，
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值，
∴f′（x）=0有两个不等实数根，∴△=4a²-4×3（a+$\frac{4}{3}$）=4a²-4（3a+4）＞0，解得a＞4或a＜-1．
命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个相异实根均大于3．令f（x）=x²-3ax+2a²+1，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=2{a}^{2}-9a+10＞0}\\{△=9{a}^{2}-4（2{a}^{2}+1）＞0}\end{array}\right.$，且$\frac{3a}{2}$＞3，解得$a＞\frac{5}{2}$．
若p∨q是真命题，p∧q是假命题，
则p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞4或a＜-1}\\{a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤4}\\{a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
解得$\frac{5}{2}＜a≤4$．
∴实数a的取值范围是$\frac{5}{2}＜a≤4$．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程有实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．