Question

15．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足，求证：E，B，C，F四点共圆．

Answer 1

分析 由已知条件利用三角形相似推导出AD²=AB•AE，AD²=AF•AC，从而得到$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}$，再由∠BAC=∠BAC，得到△AEF∽△ACB，由此能证明E、B、C、F四点共圆．

解答 证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠BAD=90°，
∴∠B=∠ADE，
又∠BAD=∠BAD，∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AD}$，∴AD²=AB•AE，
同理：AD²=AF•AC，
∴AB•AE=AF•AC，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}$，
又∠BAC=∠BAC，∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠C，
∴E、B、C、F四点共圆．

点评 本题考查四点共圆的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形相似的判定定理和性质定理的合理运用．