Question

15．各项均为正数的数列{a_n}，a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}+2}$（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明数列{$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$}为等比数列；
（2）若b_n=n（3ⁿ+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）证明：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜n+3．

Answer 1

分析 （1）通过1与a_n作和、差可知1+a_n=$\frac{3{a}_{n-1}+3}{{a}_{n-1}+2}$、1-a_n=$\frac{1-{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$，通过两式相除进而可知数列{$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$}是首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列；
（2）通过（1）可知$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$，进而可知b_n=n（3ⁿ-1），利用错位相减法计算即得结论；
（3）通过（2）可知a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}+1}$，当n≥2时放缩可知$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，相加计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}+2}$（n≥2，n∈N^*），
∴1+a_n=1+$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}+2}$=$\frac{3{a}_{n-1}+3}{{a}_{n-1}+2}$，
1-a_n=1-$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}+2}$=$\frac{1-{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$，
两式相除可知：$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{1-{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$，
又∵$\frac{1-{a}_{1}}{1+{a}_{1}}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$}是首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$，
整理得：a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}+1}$，
∴b_n=n（3ⁿ+1）a_n=n（3ⁿ+1）$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}+1}$=n（3ⁿ-1），
记T_n=1•3+2•3²+…+n•3ⁿ，3T_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
错位相减得：-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹
=-$\frac{3}{2}$+$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=-$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{2}$+$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹）=$\frac{3}{4}$+$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=T_n-$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$；
（3）证明：由（2）可知a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}+1}$，
则当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n}-1}$=1+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$＜1+$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}-1}$＜…＜1+$\frac{2}{{3}^{n-1}}$•$\frac{1}{3-1}$=1+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≤n+$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=n+$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n-1}}$＜n+3．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．