题目内容

7.已知:如图,点I是△ABC的内心,延长AI交△ABC的外接圆于点D,求证:点D是△BCI的外心.

分析 欲证点D是△BCI的外心,只需要证明DB=DI=DC即可.

解答 证明:∵点I是△ABC的内心,延长AI交△ABC的外接圆于点D,
∴∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC,
∠BID=∠BAD+∠ABI=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠DBI=∠BID,DB=DI,
又∠DBC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC,
∠BCD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,
∠DBC=∠BCD,DB=DC,
∴DB=DI=DC,
∴D是△BCI的外心.

点评 本题考查点是三角形外心的证明,是基础题,解题时要认真审题,注意三角形的内心的性质的合理运用.

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