Question

10．过抛物线y²=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=$\frac{25}{12}$，|AF|＜|BF|，则|AF|为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{5}{6}$
• C． 2
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 通过抛物线方程可知F（$\frac{1}{2}$，0），通过设直线方程为x=my+$\frac{1}{2}$，并与抛物线方程联立，利用|AB|=$\frac{25}{12}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$计算可知m=±$\frac{\sqrt{6}}{12}$，通过不妨设直线方程为x=$\frac{\sqrt{6}}{12}$y+$\frac{1}{2}$，利用|AF|＜|BF|确定A（$\frac{1}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），进而利用两点间距离公式计算即得结论．

解答 解：依题意可知F（$\frac{1}{2}$，0），直线方程为：x=my+$\frac{1}{2}$，
联立直线与抛物线方程，消去x整理得：y²-2my-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=2m，y₁y₂=-1，
∴|AB|=$\frac{25}{12}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{4{m}^{2}+4}$
=2（1+m²），
解得：m=±$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
不妨设直线方程为：x=$\frac{\sqrt{6}}{12}$y+$\frac{1}{2}$，
则y₁+y₂=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，y₁y₂=-1，
解得：y₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，或y₁=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又∵|AF|＜|BF|，
∴y₁=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$，
∴|AF|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）^{2}+（0+\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{5}{6}$，
故选：B．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．