Question

3．点P（x，y）在直线x+y=12运动，则$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{{y}^{2}+16}$的最小值为13．

Answer 1

分析 $\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{{y}^{2}+16}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0+1）^{2}}$+$\sqrt{（x-12）^{2}+（0-4）^{2}}$，表示x轴上一点P（x，0）到两点A（0，-1），B（12，4）的距离之和，因为AB在x轴两侧，所以P就是直线AB和x轴交点，即可得出结论．

解答 解：∵x+y=12，∴y=12-x
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{{y}^{2}+16}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0+1）^{2}}$+$\sqrt{（x-12）^{2}+（0-4）^{2}}$
表示x轴上一点P（x，0）到两点A（0，-1），B（12，4）的距离之和
∵△PAB中，两边之和大于第三边，
∴PA+PB＞AB，
当A、P、B在一直线且P在AB之间时，PAB退化为线段，
此时PA+PB=AB，即PA+PB有最小值AB；
∵AB在x轴两侧，所以P就是直线AB和x轴交点，
∴最小值存在，就是AB距离$\sqrt{（0-12）^{2}+（-1-4）^{2}}$=13，
故答案为：13．

点评 本题考查两点间距离公式的应用，考查学生的计算能力，正确转化是关键．