Question

4．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F₁，是否存在经过原点的直线l与该圆相切，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的右焦点为F₂（c，0），由|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|．可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，再利用b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$即可得出；
（2）由（1）可得b²=c²．可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1，设P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c），可得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$，$\overrightarrow{{F}_{1}B}$．利用圆的性质可得$\overrightarrow{{F}_{1}B}$⊥$\overrightarrow{{F}_{1}P}$，于是$\overrightarrow{{F}_{1}B}$•$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=0，得到x₀+y₀+c=0，由于点P在椭圆上，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{c}^{2}}$=1．联立可得3x₀²+4cx₀=0，解得P（-$\frac{4}{3}$c，$\frac{1}{3}$c）．设圆心为T（x₁，y₁），利用中点坐标公式可得T（-$\frac{2}{3}$c，$\frac{2}{3}$c），利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．

解答 解：（1）设椭圆的右焦点F₂的坐标为（c，0）．
由$|{AB}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{{F_1}{F_2}}|$，可得a²+b²=3c²，又b²=a²-c²，则$\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{2}$．
所以，椭圆的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\sqrt{3}c$，
所以2a²-c²=3c²，解得$a=\sqrt{2}c$，$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（2）假设存在经过原点的直线l与该圆相切，由（1）知a²=2c²，b²=c²．
故椭圆方程为$\frac{x^2}{{2{c^2}}}+\frac{y^2}{c^2}=1$．
设P（x₀，y₀）．由F₁（-c，0），B（0，c），
有$\overrightarrow{{F_1}P}=（{{x_0}+c，{y_0}}）$，$\overrightarrow{{F_1}B}=（{c，c}）$．由已知，有$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_1}B}=0$，
即（x₀+c）c+y₀c=0．又c≠0，故有x₀+y₀+c=0．①
又因为点P在椭圆上，故$\frac{{{x_0}^2}}{{2{c^2}}}+\frac{{{y_0}^2}}{c^2}=1$．②
由①和②可得$3{x_0}^2+4c{x_0}=0$．而点P不是椭圆的顶点，
故${x_0}=-\frac{4c}{3}$，代入①得${y_0}=\frac{c}{3}$，即点P的坐标为$（{-\frac{4c}{3}，\frac{c}{3}}）$．
设圆的圆心为T（x₁，y₁），则${x_1}=\frac{{-\frac{4}{3}c+0}}{2}=-\frac{2}{3}c$，${y_1}=\frac{{\frac{c}{3}+c}}{2}=\frac{2}{3}c$，
进而圆的半径$r=\sqrt{{{（{{x_1}-0}）}^2}+{{（{{y_1}-c}）}^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}c$．
（ⅰ）直线l的斜率不存在时，l：x=0，此时$d=\frac{2}{3}c≠r$，不合题意；
（ⅱ）直线l的斜率不存在时，设l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx．
由l与圆相切，可得$\frac{{|{k{x_1}-{y_1}}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=r$，即$\frac{{|{k（{-\frac{2c}{3}}）-\frac{2c}{3}}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}c$，
整理得k²-8k+1=0，解得$k=4±\sqrt{15}$，$l：y=（{4±\sqrt{15}}）x$．
综上，存在符合条件的直线，方程为$l：y=（{4±\sqrt{15}}）x$．

点评 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．