Question

16．用图解法求下列线性规划问题：
（1）约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤5}\\{x-y≤3}\\{x≥0}\\{y≥0}\\{\;}\end{array}\right.$，目标函数Z_max=2x+y；
（2）约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥4}\\{x+5y≥6}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，目标函数Z_min=3x+y；
（3）约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3≥0}\\{2x+3y-6≤0}\\{3x-5y-15≤0}\end{array}\right.$，目标函数Z_max=x+y．

Answer 1

分析 由约束条件作平面区域，化简目标函数为斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值即可．

解答 解：（1）由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤5}\\{x-y≤3}\\{x≥0}\\{y≥0}\\{\;}\end{array}\right.$作平面区域如下，
，
化目标函数Z=2x+y为y=-2x+Z，
结合图象可知，
当y=-2x+Z过点B（4，1）时Z有最大值，
故Z_max=2×4+1=9；
（2）由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥4}\\{x+5y≥6}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$作平面区域如下，

化目标函数Z=3x+y为y=-3x+Z，
结合图象可知，
当y=-3x+Z过点A（0，4）时Z有最小值，
故Z_min=4；
（3）由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3≥0}\\{2x+3y-6≤0}\\{3x-5y-15≤0}\end{array}\right.$作平面区域如下，

化目标函数Z=x+y为y=-x+Z，
结合图象可知，
当y=-x+Z过点A（$\frac{75}{19}$，-$\frac{12}{19}$）时Z有最小值，
故Z_max=$\frac{75}{19}$-$\frac{12}{19}$=$\frac{63}{19}$．

点评 本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值．