题目内容
7．已知数列{an}满足an=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{{a}_{\frac{n}{2}}，n=2k}\end{array}\right.$，其中，k∈N*，设f（n）=a1+a2+a3+a4+…+${a}_{{2}^{n}-2}$+${a}_{{2}^{n}-1}$+${a}_{{2}^{n}}$，则f（2016）-f（2014）的值为42014．分析 由递推公式得到f（n）-f（n-1）=4n-1，由此能求出f（2016）-f（2014）的值．
解答 解：∵an=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{{a}_{\frac{n}{2}}，n=2k}\end{array}\right.$，其中，k∈N*，f（n）=a1+a2+a3+a4+…+${a}_{{2}^{n}-2}$+${a}_{{2}^{n}-1}$+${a}_{{2}^{n}}$，
∴f（2）-f（1）=a1+a2+a3+a4-（a1+a2）=a3+a4=3+1=4，
f（3）-f（2）=a5+a6+a7+a8=5+3+7+1=42
f（4）-f（3）=a9+a10+…+a16=9+5+11+3+13+7+15+1=64=43
…
∴f（n）-f（n-1）=4n-1，
∴f（2016）-f（2014）=42014．
故答案为：42014．
点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式和归纳总结的合理运用．
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