Question

4．关于x的方程sinx+cosx=k在区间[0，π]内有两个不同的实根x₁，x₂，则实数k的取值范围是[1，$\sqrt{2}$），且sin（x₁+x₂）=1．

Answer 1

分析 利用两角和与差公式可得k=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），进而把问题转化成y₁=k，y₂=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈[0，π]有两个交点问题，将图象画出即可得出k的范围，由图象的对称性可得x₁+x₂，进而得到所求正弦值．

解答 解：∵sinx+cosx=k，
∴k=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
设y₁=k，y₂=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
由题意可知y₁=k，y₂=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
x∈[0，π]有两个交点，
如图示知k∈[1，$\sqrt{2}$），
设两相异实根为x₁，x₂，由图示⇒x₁+x₂=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
sin（x₁+x₂）=1．
故答案为：[1，$\sqrt{2}$），1．

点评 本题考查三角方程的解的个数问题，注意运用正弦函数的图象，着重考查辅助角公式的应用及数形结合的思想，属于中档题．