Question

6．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）与棱A₁B₁平行的棱是AD、BC、DD₁、CC₁；与棱B₁B异面的棱为AD、A₁D₁、DC、D₁C₁；与棱C₁B₁垂直的棱为AB、A₁B₁、DC、D₁C₁、AA₁、DD₁，CC₁，BB₁；
以下各题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（2）A₁B与CC₁所成的角是45°；A₁B₁与CC₁所成的角是90°；D₁C与C₁B所成的角是60°．

Answer 1

分析 （1）结合正方体的结构特征，利用异面直线、垂直的概念能求出结果．
（2）由CC₁∥BB₁，得∠A₁BB₁是A₁B与CC₁所成的角，由此能求出A₁B与CC₁所成的角的大小；由CC₁∥BB₁，得∠A₁B₁B是A₁B₁与CC₁所成的角，由此能求出A₁B₁与CC₁所成的角的大小；由D₁C∥A₁B，得∠A₁BC₁是D₁C与C₁B所成的角，由此能求出D₁C与C₁B所成的角的大小．

解答 解：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
与棱A₁B₁平行的棱是AD、BC、DD₁、CC₁；
与棱B₁B异面的棱为AD、A₁D₁、DC、D₁C₁；
与棱C₁B₁垂直的棱为AB、A₁B₁、DC、D₁C₁、AA₁、DD₁，CC₁，BB₁．
故答案为：AD、BC、DD₁、CC₁；AD、A₁D₁、DC、D₁C₁；AB、A₁B₁、DC、D₁C₁、AA₁、DD₁，CC₁，BB₁．
（2）∵CC₁∥BB₁，
∴∠A₁BB₁是A₁B与CC₁所成的角，
∵A₁B₁=BB₁，A₁B₁⊥BB₁，
∴∠A₁BB₁=45°，
∴A₁B与CC₁所成的角为45°；
∵CC₁∥BB₁，
∴∠A₁B₁B是A₁B₁与CC₁所成的角，
∵A₁B₁⊥BB₁，∴∠A₁B₁B=90°，
∴A₁B₁与CC₁所成的角为90°；
∵D₁C∥A₁B，∴∠A₁BC₁是D₁C与C₁B所成的角，
∵A₁B=BC₁=A₁C₁，∴∠A₁BC₁=60°，
∴D₁C与C₁B所成的角为60°．
故答案为：45°；90°；60°．

点评 本题考查异面直线、直线垂直的判断及求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意正方体的结构特征的合理运用．