题目内容

11.已知一个圆锥的母线长为L.
(1)若L=5,底面半径为4,求圆锥的全面积;
(2)若L为定值,求当圆锥的体积最大时,圆锥的高为多少?(用L表示)

分析 (1)由已知中圆锥的母线与底面半径,代入圆锥的表面积公式,可得答案;
(2)设圆锥的高为h,表示出圆锥的体积公式,利用导数法,可得当圆锥的体积最大时,圆锥的高.

解答 解;(1)若圆锥的母线L=5,底面半径r=4,
则圆锥的全面积S=πr(r+L)=36π;
(2)若L为定值,求当圆锥的体积最大时,圆锥的高为h,
则V=$\frac{1}{3}$πh=$\frac{1}{3}$π(L2-h2)h,
则V′=$\frac{1}{3}$π(L2-3h2),
当h<$\frac{\sqrt{3}}{3}$L时,V′>0,当h>$\frac{\sqrt{3}}{3}$L时,V′<0,
故当h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L时,V取最大值,
即当圆锥的体积最大时,圆锥的高为$\frac{\sqrt{3}}{3}$L.

点评 本题考查的知识点是旋转体,导数法求函数的最值,难度中档.

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