Question

7．已知函数f（x）=x³-x的图象是曲线C
（1）求曲线C在点M（t，f（t））处的切线方程；
（2）求过点P（-1，0）的曲线C的切线方程；
（3）假设a＞0，如果过点（a，b）可以作曲线C的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），根据切点为M（t，f（t）），得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；
（2）先求出函数的导函数，设出切点，然后求出在切点处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可；
（3）设切线过点（a，b），则存在t使b=（3t²-1）a-2t³，于是过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t³-3at²+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t³-3at²+a+b，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．

解答 解：（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x²-1．
曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线斜率为3t²-1，切点为（t，t³-t），
即有切线方程为：y-f（t）=f'（t）（x-t），即y=（3t²-1）x-2t³；
（2）由f′（x）=3x²-1．设切线的斜率为k，设切点是（x₀，y₀），
则有y₀=x₀³-x₀，①
k=f′（x₀）=3x₀²-1，
切线的方程为y-x₀³+x₀=（3x₀²-1）（x-x₀），
代入（-1，0），可得-x₀³+x₀=（3x₀²-1）（-1-x₀），
解得x₀=-1或x₀=$\frac{1}{2}$，
∴所求曲线的切线方程为：x+4y+1=0或2x-y+2=0；
（3）证明：如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t²-1）a-2t³．
于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，
则方程2t³-3at²+a+b=0有三个相异的实数根．
记g（t）=2t³-3at²+a+b，则g'（t）=6t²-6at=6t（t-a）．
当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：

t	（-∞，0）	0	（0，a）	a	（a，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	增	极大值a+b	减	极小值b-f（a）	增

由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b-f（a）＞0时，
方程g（t）=0最多有一个实数根；
当a+b=0时，解方程g（t）=0得t=0，t=$\frac{3a}{2}$，
即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；
当b-f（a）=0时，解方程g（t）=0得t=-$\frac{1}{2}$a，
即方程g（t）=0只有两个相异的实数根．
综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，
即g（t）=0有三个相异的实数根，则$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞0}\\{b-f（a）＜0}\end{array}\right.$，
即-a＜b＜f（a）．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别，会利用导数研究函数的增减性得到函数的极值．