Question

2．函数f（x）=$\frac{b-x}{a{x}^{2}+1}$在定义在（-1，1）上的奇函数，且f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{2}{5}$
（1）试确定函数f（x）的解析式
（2）用定义证明：f（x）在（-1，1）上是减函数
（3）若f（a-1）+f（1-2a）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件结合函数奇偶性的性质进行求解即可．
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．
（3）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{b-x}{a{x}^{2}+1}$在定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，即b=0，
则f（x）=$\frac{-x}{a{x}^{2}+1}$，
∵f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{2}{5}$
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{b-\frac{1}{2}}{\frac{a}{4}+1}$═$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{a}{4}+1}$=-$\frac{2}{5}$，即a+4=5，则a=1，
解得a=1，即f（x）=$\frac{-x}{{x}^{2}+1}$．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{-{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{-{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{2}（{{x}_{1}}^{2}+1）-{x}_{1}（{{x}_{2}}^{2}+1）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$＞0，
故f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）若f（a-1）+f（1-2a）＞0，
则f（a-1）＞-f（1-2a），
∵f（x）是奇函数，∴-f（1-2a）=f（2a-1），
则不等式等价为f（a-1）＞f（2a-1），
∵f（x）在（-1，1）上是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a-1＜1}\\{-1＜2a-1＜1}\\{a-1＜2a-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{0＜a＜1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，则0＜a＜1．

点评 本题主要考查函数奇偶性的求解，函数单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．