题目内容
【题目】已知椭圆过点
,右焦点
是抛物线
的焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知动直线过右焦点
,且与椭圆
分别交于
,
两点.试问
轴上是否存在定点
,使得
恒成立?若存在求出点
的坐标:若不存在,说明理由.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
(1) 由椭圆过点
,得
,由抛物线的焦点为
,得
,利用
即可求解a则方程可求;(2)假设在
轴上存在定点
,当直线
的斜率不存在时,由
,解得
或
;当直线
的斜率为0时,由
,解得
或
,可得
,得点
的坐标为
.再证明当
时
恒成立. 设直线
的斜率存在且不为0时,其方程为
,与椭圆联立消去y得韦达定理,向量坐标化得
整理代入韦达定理即可
(1)因为椭圆过点
,所以
,
又抛物线的焦点为,所以
.
所以,解得
(舍去)或
.
所以椭圆的方程为
.
(2)假设在轴上存在定点
,使得
.
①当直线的斜率不存在时,则
,
,
,
,
由,解得
或
;
②当直线的斜率为0时,则
,
,
,
,
由,解得
或
.
由①②可得,即点
的坐标为
.
下面证明当时,
恒成立.
当直线的斜率不存在或斜率为0时,由①②知结论成立.
当直线的斜率存在且不为0时,设其方程为
,
,
.直线与椭圆联立得
,
直线经过椭圆内一点,一定与椭圆有两个交点,且,
.
,
所以
恒成立
综上所述,在轴上存在点
,使得
恒成立.
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