题目内容
【题目】已知椭圆
过点
，右焦点
是抛物线
的焦点.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知动直线
过右焦点，且与椭圆分别交于
，
两点.试问
轴上是否存在定点
，使得
恒成立?若存在求出点的坐标:若不存在，说明理由.
【答案】(1) 
(2)见解析
【解析】
(1) 由椭圆
过点
，得
，由抛物线的焦点为
，得
，利用
即可求解a则方程可求；（2）假设在
轴上存在定点
，当直线
的斜率不存在时，由
，解得
或
；当直线的斜率为0时，由
，解得
或，可得，得点
的坐标为
.再证明当时
恒成立. 设直线的斜率存在且不为0时，其方程为
，与椭圆联立消去y得韦达定理,向量坐标化得
整理代入韦达定理即可
（1）因为椭圆过点，所以，
又抛物线的焦点为，所以.
所以，解得
（舍去）或
.
所以椭圆的方程为.
（2）假设在轴上存在定点，使得.
①当直线的斜率不存在时，则
，
，
，
，
由，解得或；
②当直线的斜率为0时，则
，
，
，
，
由，解得或.
由①②可得，即点的坐标为.
下面证明当时，恒成立.
当直线的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.
当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，
，
.直线与椭圆联立得
，
直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且
，
.
，
所以
恒成立
综上所述，在轴上存在点
，使得恒成立.
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