Question

【题目】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．

（1）求抛物线的方程及点的坐标；

（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）9．

【解析】

（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；

（2）设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．

（1）∵点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，|PF|＝3，

∴23，

解得：p＝2，

∴抛物线C的方程为y2＝4x，

∵点P（2，n）（n＞0）在抛物线C上，

∴n2＝4×2＝8，

由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．

（2）∵F（1，0），∴设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，

代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1，y2是y2+4my﹣4＝0的两个不同实根，

∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，

x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，

x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，

（），（x2﹣2，），

（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）

＝x1x2﹣2（x1+x2）+4

＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8

＝﹣8m2+8m+5

＝﹣8（m）2+9．

∴当m时，取最大值9．