题目内容
【题目】已知函数 .
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)判断曲线是否位于
轴下方,并说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(1)求导,得到切线斜率
,利用点斜式得到直线的方程;(2)“要证明
”等价于“
”,构造新函数确定函数的最小值大于等于
;(3)曲线
是位于
轴下方即证明
)
,利用(Ⅱ)可知
,转证
即可.
试题解析:
函数的定义域为,
.
(Ⅰ),又
,
曲线在
处的切线方程为
,
即.
(Ⅱ)“要证明”等价于“
”
设函数.
令,解得
.
因此,函数的最小值为
.故
.
即.
(Ⅲ)曲线位于
轴下方. 理由如下:
由(Ⅱ)可知,所以
.
设,则
.
令得
;令
得
.
所以在
上为增函数,
上为减函数.
所以当时,
恒成立,当且仅当
时,
.
又因为, 所以
恒成立.
故曲线位于
轴下方.
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