Question

【题目】已知函数 .

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证： ；

（Ⅲ）判断曲线是否位于轴下方，并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（1）求导，得到切线斜率，利用点斜式得到直线的方程；（2）“要证明”等价于“”，构造新函数确定函数的最小值大于等于；（3）曲线是位于轴下方即证明)，利用（Ⅱ）可知，转证即可.

试题解析：

函数的定义域为，

.

（Ⅰ），又，

曲线在处的切线方程为

，

即.

（Ⅱ）“要证明”等价于“”

设函数.

令，解得.

因此，函数的最小值为.故.

即.

（Ⅲ）曲线位于轴下方. 理由如下：

由（Ⅱ）可知，所以.

设，则.

令得；令得.

所以在上为增函数， 上为减函数.

所以当时， 恒成立,当且仅当时， .

又因为， 所以恒成立.

故曲线位于轴下方.