题目内容
【题目】已知函数,其中常数
.
(1)当时,求函数
的单调递增区间;
(2)当时,若函数
有三个不同的零点,求
的取值范围;
(3)设定义在上的函数
在点
处的切线方程为
,当
时,若
在
内恒成立,则称
为函数
的“类对称点”,请你探究当
时,函数
是否存在“类对称点”,若存在,请最少求出一个“类对称点” 的横坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1) 单调递增区间为和
;(2)
; (3)
是一个类对称点的横坐标.
【解析】试题分析:(1)求导数f′(x),当a>2时在函数定义域内解不等式f′(x)>0即可.
(2)数形结合:当a=4时,用导数求出函数y=f(x)的极大值与极小值,画出草图,借助图象即可求得m的取值范围.(3)当a=4时,函数y=f(x)在其图象上一点P(x0,f(x0))处的切线方程为y=h(x)=.由此能推导出y=f(x)存在“类对称点”,
是一个“类对称点”的横坐标.
(1)由可知,函数的定义域为
,
且.
因为,所以
.当
或
时,
;当
时,
,
所以的单调递增区间为
和
.
(2)当时,
.所以,当
变化时,
的变化情况如下:
1 | 2 | ||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
单调递增 |
| 单调递减 |
| 单调递增 |
所以极大值
,
极小值
.
函数的图象大致如下:
所以若函数有三个不同的零点,
则.
(3)由题意,当时,
,则在点
处切线的斜率
.
所以
.
令,
则,
.
①当时,
在
上单调递减,所以当
时,
.从而有
时,
;
②当时,
在
上单调递减,所以当
时,
.从而有
时,
;
所以在上不存在“类对称点”.
③当时,
,所以
在
上是增函数,故
.
所以是一个类对称点的横坐标.
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