Question

【题目】关于x方程 ﹣x=lnx有唯一的解，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】{a|a＜0或a=1}
【解析】解：要使方程有意义，则x＞0，
设f（x）= ﹣x，g（x）=lnx，
若a＜0，此时函数f（x）在x＞0时，单调递减，g（x）=lnx单调递增，
此时两个函数只有一个交点，满足方程有唯一解；
若a＞0，要使方程 ﹣x=lnx有唯一的解，
则函数f（x）与g（x）有相同的切线，
设切点为（m，n），
则f′（x）= ，g′（x）= ，
则满足 ﹣1= ，
即 ﹣m=1①，
同时 ﹣m=lnm，②
①﹣2×②得m=1﹣2lnm，
即m﹣1=﹣2lnm，
∵y=m﹣1与y=﹣2lnm只有一个根，
∴解得m=1，
当m=1时，n=ln1=0，
即切点为（1，0），
则f（x）与g（x）在（1，0）处相切，
即此时f（1）=0，即a=1，满足条件．
所以答案是：{a|a＜0或a=1}