题目内容
【题目】已知函数,
.
求证:
对
恒成立;
若
,若
,
,求证:
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
(1)先对不等式左边进行化简整理,然后将整理后的表达式设为函数,对函数
进行一阶导数和二阶导数的分析,得到
在
上单调递增,则当
时,
命题得证.
(2)先对整理后的进行一阶导数的分析,画出函数
大致图象,可知
,
然后采用先取对数然后作差的方法比较大小,关键是构造对数平均数,利用对数平均不等式即可证明.
证明:由题意,可知
.
令,
则
,
,
当
时,
,
在
上单调递增.
当
时,
,
在
上单调递增.
当
时,
.
故命题得证.
由题意,
,
.
,
.
令
,解得
;
令
,解得
;
令
,解得
.
在
上单调递减,在
上单调递增,
在处取得极小值
.
大致图象如下:
根据图,可知,
.
,
,
根据对数平均不等式,有
,
.
,
.
故得证.
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