题目内容
【题目】已知椭圆:
过点
,且以
,
为焦点,椭圆
的离心率为
.
(1)求实数的值;
(2)过左焦点的直线
与椭圆
相交于
、
两点,
为坐标原点,问椭圆
上是否存在点
,使线段
和线段
相互平分?若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由。
【答案】(1)1;(2)存在使线段
和
相互平分,其坐标为
,或
.
【解析】
(1)根据椭圆过点,离心率以及,列方程组可得答案;
(2)假设存在点满足题意,设出直线
的方程,代入椭圆方程,根据韦达定理得到中点坐标,根据线段
和线段
相互平分,得到点
的坐标,将点
的坐标代入椭圆方程即可得到答案.
解:(1)椭圆方程为
(
)过点
,
.
,
为椭圆
的焦点,椭圆
的离心率为
,
,
.解得
,
,
.
(2)由(1)有椭圆的方程为
,
.
假设存在点满足题意,且
和
相交于点
.
则,
,
,
当直线与
轴重合时,不满足题意.
设直线的方程为
,
,
.
联立得
,
,
.
则,
,
将代入
有
.
解得,
,或
,
故存在使线段
和
相互平分,其坐标为
,或
.

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