Question

9．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为平面向量，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{π}{4}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，则$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由向量加减的运算法则作图，用正弦定理解三角形可得．

解答 解：作向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
由平行四边形法则可得$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{π}{4}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
∴∠AOC=$\frac{π}{4}$，∠ACO=∠BOC=$\frac{π}{3}$，
在△OAC中由正弦定理可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{sin∠ACO}{sin∠AOC}$
=$\frac{sin\frac{π}{3}}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查平面向量的夹角，涉及解三角形，数形结合是解决问题的关键，属中档题．