Question

18．（1）一个袋中装有6个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取3个球，求取出的球的编号之和不大于10的概率；
（2）若实数a，b满足a²+b²≤1，求关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根的概率．

Answer 1

分析 （1）先由排列组合求出基本事件总数，再由列举法求出取出的球的编号之和不大于10包含的基本事件个数，由此能求出取出的球的编号之和不大于10的概率．
（2）由已知得点（a，b）在单位圆内，圆面积S=π，a+b≤1，由此利用几何概型能求出关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根的概率．

解答 解：（1）一个袋中装有6个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取3个球，
基本事件总数n=${C}_{6}^{3}$=20，
取出的球的编号之和不大于10包含的基本事件为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），（2，3，4），共5个，
∴取出的球的编号之和不大于10的概率p₁=$\frac{m}{n}$=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$．
（2）∵实数a，b满足a²+b²≤1，
∴点（a，b）在单位圆内，圆面积S=π，
∵关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根，
∴△=（-2）²-4（a+b）≥0，
即a+b≤1，表示图中阴影部分，
其面积S′=π-（$\frac{1}{4}$π-$\frac{1}{2}×1×1$）=$\frac{3π}{4}$+$\frac{1}{2}$，
故所求概率P₂=$\frac{{S}^{'}}{S}$=$\frac{3}{4}+\frac{1}{2π}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型在求解概率时的合理运用．