Question

20．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB=$\frac{π}{4}$，记该设施平面图的面积为S（x）m²，∠AOB=xrad，其中$\frac{π}{2}$＜x＜π．
（1）写出S（x）关于x的函数关系式；
（2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？

Answer 1

分析 （1）首先，求解三角形和扇形的面积，然后，求和即可得到相应的解析式；
（2）根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可．

解答 解：（1）∵扇形AOB的半径为2m，∠AOB=xrad，
∴S_扇形=$\frac{1}{2}$x•2²=2x，
过点B作边AC的垂线，垂足为D，如图所示：

则∠BOD=π-x，
∴BD=2sin（π-x）=2sinx，OD=2cos（π-x）=-2cosx，
∵∠ACB=$\frac{π}{4}$，
∴CD=BD=2sinx，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$CO•BD=$\frac{1}{2}$（2sinx-2cosx）×2sinx=2sin²x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x，
∴S（x）=1-cos2x-sin2x+2x，
（2）根据（1），得到S（x）=1-cos2x-sin2x+2x，
∴S′（x）=2sin2x-2cos2x+2，
令S′（x）=0，
∴2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）=-2，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，
∴x=$\frac{3π}{4}$，
根据实际意义知，当x=$\frac{3π}{4}$时，该函数取得最大值，
故设计∠AOB=$\frac{3π}{4}$时，此时S（x）有最大值．

点评 本题重点考查了三角形的面积公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．