Question

4．已知函数g（x）=log₂（3x-1），f（x）=log₂（x+1），
（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；
（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由g（x）≥f（x）得log₂（3x-1）≥log₂（x+1），利用对数函数的单调性可得3x-1≥x+1＞0，解出即可得出．
（2）y=g（x）+f（x）=log₂（3x-1）+log₂（x+1）=${log_2}（3{x^2}+2x-1）$，令t=3x²+2x-1，则y=log₂t．利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由g（x）≥f（x）得log₂（3x-1）≥log₂（x+1），
∴3x-1≥x+1＞0，
解得x≥1．
则不等式g（x）≥f（x）的解集为 {x|x≥1}．
（2）y=g（x）+f（x）=log₂（3x-1）+log₂（x+1）
=log₂（3x-1）（x+1）
=${log_2}（3{x^2}+2x-1）$，
令t=3x²+2x-1，则y=log₂t．
由（1）可得{x|x≥1}，函数t=3x²+2x-1的对称轴为$x=-\frac{1}{3}∉[{1，+∞}）$
∴t=1时，t_min=4，即t≥4．
又∵y=log₂t在t∈[4，+∞）上单调递增，
∴当x≥1时，y≥log₂4=2．
∴所求函数的值域为[2，+∞）．

点评 本题考查了二次函数与对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．