Question

14．在△ABC中，已知AB=2AC．
（Ⅰ）若∠A=60°，BC=2，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若AD是A的角平分线，且AD=kAC，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可解得AC的值，根据三角形面积公式即可得解△ABC的面积．
（2）设∠CAD=θ，则由题意可得：${S_{△ABC}}=A{C^2}×sin2θ$，又${S_{△ABC}}=\frac{3}{2}AC×AD×sinθ$，结合AD=kAC，解得$k=\frac{4}{3}cosθ$，由范围$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$即可解得$k∈（{0，\frac{4}{3}}）$．

解答 解：（1）∵AC²+AB²-BC²=2AC×AB×cosA，
∴5AC²-4=2AC²，即$AC=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
所以：${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×AB×AC×sinA=\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{3}}}{3}×\frac{{2\sqrt{3}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．…（7分）
（2）∵设∠CAD=θ，则${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×AB×AC×sin2θ=A{C^2}×sin2θ$，
又∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×AB×AD×sinθ+\frac{1}{2}×AC×AD×sinθ=\frac{3}{2}AC×AD×sinθ$，
∴$k=\frac{4}{3}cosθ$，
∵$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴$k∈（{0，\frac{4}{3}}）$．…（15分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，属于中档题．