Question

18．函数y=x⁴-8x²+2在[-1，3]上的最大值为11．

Answer 1

分析 解法一：令t=x²，则t∈[0，9]，y=t²-8t+2，根据二次函数的图象和性质，可得当t=9时，函数的最大值为：11
解法二：由y=x⁴-8x²+2可得y′=4x（x²-16），据此分析函数的单调性，进而可得当x=3时，函数的最大值为：11

解答 解法一：令t=x²，则t∈[0，9]，y=t²-8t+2，
∵y=t²-8t+2的图象是开口朝上，且以直线x=4为对称轴的抛物线，
故当t=9时，函数的最大值为：11
解法二：∵y=x⁴-8x²+2，
∴y′=4x（x²-16），
令y′=0，则x=0，或x=±2，
当x∈[-1，0）时，y′＞0函数为增函数，
当x∈（0，2）时，y′＜0函数为减函数，
x∈（2，3]时，y′＞0函数为增函数，
由f（0）=2，f（3）=11，
可得当x=3时，函数的最大值为：11
故答案为：11．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，利用换元法将高次函数转化为低次函数容易理解和接受，但导数法更具有普便性．