题目内容
6.已知函数f(x)=|x-1|+|2x+2|(1)解不等式f(x)>5;
(2)若不等式f(x)<a(a∈R)的解集为空集,求a的取值范围.
分析 (1)根据函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1,x<-1}\\{x+3,-1≤x≤1}\\{3x+1,x>1}\end{array}\right.$,分类讨论求得不等式f(x)>5的解集.
(2)由(1)可得函数f(x)的最小值为f(-1)=2,结合题意求得a的取值范围.
解答 解:(1)函数f(x)=|x-1|+|2x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1,x<-1}\\{x+3,-1≤x≤1}\\{3x+1,x>1}\end{array}\right.$,
当x<-1时,由-3x-1>5,求得x<-2.
显然,当-1≤x≤1时,不等式f(x)>5无解,
当x>1时,由3x+1>5,求得x>$\frac{4}{3}$.
综上可得,不等式的解集为{x|x<-2或x>$\frac{4}{3}$ }.
(2)由(1)可得f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1,x<-1}\\{x+3,-1≤x≤1}\\{3x+1,x>1}\end{array}\right.$,函数f(x)的最小值为f(-1)=2,
故当a≤2时,不等式f(x)<a(a∈R)的解集为空集.
点评 本题主要考查队友绝对值的函数,绝对值不等式的解法,体现了分类讨论、转化的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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