Question

14．设函数f（x）=|2x-a|（a＞0），g（x）=x+2-|2x+1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件去掉绝对值，求得x的范围．
（2）由题意可得|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0 恒成立，令h（x）=|2x-a|+|2x+1|-x-2，化简h（x）的解析式，根据单调性求得h（x）的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范围．

解答 解：（1）|2x-1|≥1，解得 x≤0或x≥1，∴原不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．
（2）由题意可得|2x-a|≥x+2-|2x+1|恒成立，
即|2x-a|+|2x+1|≥x+2恒成立，即|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0 恒成立．
令h（x）=|2x-a|+|2x+1|-x-2=$\left\{\begin{array}{l}{-5x+a-3，x≤-\frac{1}{2}}\\{-x+a-1，-\frac{1}{2}＜x＜\frac{a}{2}}\\{3x-a-1，x≥\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
因为a＞0，故当x=$\frac{a}{2}$时，h（x）取得最小值为$\frac{a}{2}$-1，令$\frac{a}{2}$-1≥0，求得a≥2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，根据函数的单调性求函数的最小值，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．