Question

19．函数f（x）对任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（Ⅰ）求证：f（x）是R 上的增函数；
（Ⅱ）若f（-4）=5，解不等式f（3m²-m-3）＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设实数x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，利用已知可得f（x₂-x₁）＞1．再利用已知可得f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁）即可；
（Ⅱ）令a=b=-2，以及a=b=-1，解得f（-2）=3，f（-1）=2，不等式f（3m²-m-3）＜2．化为f（3m²-m-3）＜f（-1），由（1）可得：f（x）在R上是增函数．可得3m²-m-3＜-1，解得即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1．
又函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）令a=b=-2，则f（-2-2）=f（-2）+f（-2）-1=5，解得f（-2）=3，
再令a=b=-1，则f（-1-1）=f（-1）+f（-1）-1=3，解得f（-1）=2．
不等式f（3m²-m-3）＜2．化为f（3m²-m-3）＜f（-1）．
由（1）可得：f（x）在R上是增函数．
∴3m²-m-3＜-1，解得-$\frac{2}{3}$＜m＜1．
∴不等式f（3m²-m-3）＜2的解集为（-$\frac{2}{3}$，1）．

点评 本题考查了抽象函数的单调性、求值、解不等式等基础知识与基本方法，考查了灵活应用知识解决问题的能力，属于中档题．