题目内容
11.已知单位向量$\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k$两两的夹角均为θ(0<θ<π,且θ≠$\frac{π}{2}$),若空间向量$\overrightarrow a$满足$\overrightarrow a=x\overrightarrow i+y\overrightarrow j+z\overrightarrow k(x,y,z∈R)$,则有序实数组(x,y,z)称为向量$\overrightarrow a$在“仿射”坐标系O-xyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标,记作$\overrightarrow a={(x,y,z)_θ}$有下列命题:①已知$\overrightarrow a={(1,3,-2)_θ},\overrightarrow b={(4,0,2)_θ}$,则$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0;
②已知$\overrightarrow a={(x,y,0)_{\frac{π}{3}}},\overrightarrow b={(0,0,z)_{_{\frac{π}{3}}}}$其中xyz≠0,则当且仅当x=y时,向量$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$的夹角取得最小值;
③已知$\overrightarrow a={({x_1},{y_1},{z_1})_θ},\overrightarrow b={({x_2},{y_2},{z_2})_θ},则\overrightarrow a+\overrightarrow b={({x_1}+{x_2},{y_1}+{y_2},{z_1}+{z_2})_θ}$;
④已知$\overrightarrow{OA}={(1,0,0)_{\frac{π}{3}}},\overrightarrow{OB}={(0,1,0)_{\frac{π}{3}}},\overrightarrow{OC}={(0,0,1)_{\frac{π}{3}}}$,则三棱锥O-ABC的表面积S=$\sqrt{2}$,其中真命题有②③(写出所有真命题的序号)
分析 理解仿射坐标的概念,利用空间向量的共线定理及数量积运算即可求解.
解答 解:①若$\overrightarrow{a}$=(2,0,-1)$\overrightarrow{o}$,$\overrightarrow{b}$=(1,0,2)$\overrightarrow{o}$,则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=(2$\overrightarrow{i}$-$\overrightarrow{k}$)•($\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{k}$)=2+3$\overrightarrow{i}$•$\overrightarrow{k}$-2=3cosθ,
∵0<θ<π,且$θ≠\frac{π}{2}$,∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≠0;
②$\overrightarrow{a}=(x,y,0)_{\frac{π}{3}}$,$\overrightarrow{b}=(0,0,z)_{\frac{π}{3}}$,其中xyz≠0,向量$\overrightarrow{a}$的夹角取得最小值,两向量同向
存在实数λ>0,满足$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$,根据仿射坐标的定义,易知②为正确;
③已知$\overrightarrow{a}$=(x1,y1,z1)θ,$\overrightarrow{b}$=(x2,y2,z2)θ,则$\overrightarrow{a}$=(x1-x2)$\overrightarrow{i}$+(y1-y2)$\overrightarrow{j}$+(z1-z2)$\overrightarrow{k}$,
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=({x}_{1}-{x}_{2},{y}_{1}-{y}_{2},{z}_{1}{-z}_{2})_{θ}$
④$\overrightarrow{OA}=(1,0,0)_{\frac{π}{3}}$,$\overrightarrow{OB}=(0,1,0)_{\frac{π}{3}}$,$\overrightarrow{OC}=(0,0,1)_{\frac{π}{3}}$已知,则三棱锥O-ABC为正四面体,棱长为1,∴表面积为S=4×$4×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
故答案为:②③.
点评 本题主要考察了向量的相关概念,综合性较强,属于中档题.
A. | (-∞,0] | B. | [-1,3] | C. | [3,5] | D. | [5,7] |
(Ⅰ)为便于研究分析,教育专家将A模式称为传统课堂模式,B、C统称为新课堂模式,根据随堂检测结果,把课堂教学效率分为高效和非高效,根据检测结果统计得到如下2×2列联表(单位:节)
高效 | 非高效 | 统计 | |
新课堂模式 | 60 | 30 | 90 |
传统课堂模式 | 40 | 50 | 90 |
统计 | 100 | 80 | 180 |
(Ⅱ)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出18节课作为样本进行研究,并从样本的B模式和C模式课堂中随机抽取3节课.
①求至少有一节为C模式课堂的概率;
②设随机抽取的3节课中含有C模式课堂的节数为X,求X的分布列和数学期望.
参考临界值表:
P(K2≧K0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
K0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.897 | 10.828 |
A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |