Question

2．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+（a-1）x+1在区间（1，4）上为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0]
• B． [-1，3]
• C． [3，5]
• D． [5，7]

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，求得导函数的零点1，a-1，然后分1与a-1的大小分析导函数在不同区间内的符号，从而得到原函数在不同区间内的单调性，最后借助于已知条件得到a-1与4和6的关系，则答案可求．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+（a-1）x+1，得
f′（x）=x²-ax+a-1，
令f′（x）=0，解得x=1或x=a-1．
当a-1≤1，即a≤2时，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意；
当a-1＞1，即a＞2时，f′（x）在（-∞，1）上大于0，函数f（x）在（-∞，1）上为增函数，
f′（x）在（1，a-1）内小于0，函数f（x）在（1，a-1）内为减函数，f′（x）在（a-1，+∞）内大于0，
函数f（x）在（a-1，+∞）上为增函数．
依题意应有：
当x∈（1，4）时，f′（x）＜0，
当x∈（6，+∞）时，f′（x）＞0．
∴4≤a-1≤6，解得5≤a≤7．
∴aa的取值范围是[5，7]．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，采用了逆向思维方法，解答的关键是对端点值的取舍，是中档题．