Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，-cosωx），向量$\overrightarrow{b}$=（sinωx，$\sqrt{3}$），其中ω＞0，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小正周期为π．求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 利用平面向量的数量积运算法则计算，列出函数解析式，再利用和差角公式化简，最后函数的周期性得到ω的值；根据正弦函数的单调递增区间列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集即为函数的单调递增区间．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（3，-cosωx），$\overrightarrow{b}$=（sinωx，$\sqrt{3}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3sinωx-$\sqrt{3}$cosωx=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$cosωx）=2$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}$），
∵函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小正周期为π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，即ω=2，
∴f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈z，
故f（x）的单调增区间[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈z．

点评 此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的单调性，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．