Question

15．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=1和x=-3处取得极值，且f（1）=-5
（1）求函数的解析式；
（2）若在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=a至少有两个不同实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，得到关于a，b，c的方程，解出即可；
（2）先求出函数f（x）的单调区间，集合函数在区间[m，m+1]上单调递增，得到不等式，解出即可；
（3）问题转化为函数的交点问题，画出草图求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c=0，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-3）=27a-6b+c=0}\\{f′（1）=3a+2b+c=0}\\{f（1）=a+b+c=-5}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=3，c=-9，
∴f（x）=x³+3x²-9x；
（2）f′（x）=3x²+6x-9=3（x²+2x-3）=3（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，-3），（1，+∞）递增，在（-3，1）递减，
若在区间[m，m+1]上单调递增，
则m+1≤-3或m≥1，解得：m≤-4或m≥1；
（3）由（2）得：函数f（x）在x=-3时，取得极大值27，在x=1时取得极小值-5，
若关于x的方程f（x）=a至少有两个不同实根，
则函数f（x）和函数y=a至少有两个不同的交点，
∴a∈[-5，27]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．