Question

18．（1）已知$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{x∈R，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的部分图象如下图，求f（x）的解析式；
（2）若$f（x）=tan（{ωx+\frac{π}{4}}）（{ω＞0}）$且f（x）在$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$上为单调递增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，根据特殊点的坐标求出A的值，可得函数的解析式．
（2）根据正切函数的单调性求得函数f（x）的增区间，再根据f（x）在$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$上为单调递增函数，可得 $（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$⊆（$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$，$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$），k∈Z，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3π}{4ω}≤-\frac{π}{3}}\\{\frac{π}{4ω}≥\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，由此求得ω的最大值．

解答 解：（1）由函数f（x）的图象可得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$，∴ω=2．
再根据五点法作图，可得2×$\frac{5π}{12}$+φ=π，求得φ=$\frac{π}{6}$，故f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
再根据函数的图象经过点（0，1），可得Asin$\frac{π}{6}$=1，求得 A=2，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）对于 $f（x）=tan（{ωx+\frac{π}{4}}）（{ω＞0}）$，令kπ-$\frac{π}{2}$＜ωx+$\frac{π}{4}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$＜x＜$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$，
可得函数f（x）的增区间为（$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$，$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$），k∈Z．
结合f（x）在$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$上为单调递增函数，可得 $（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$⊆（$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$，$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$），k∈Z．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3π}{4ω}≤-\frac{π}{3}}\\{\frac{π}{4ω}≥\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，求得ω≤$\frac{1}{2}$，故ω的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，根据特殊点的坐标求出A的值．还考查正切函数的单调性，属于基础题．