Question

19．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bc=2$\sqrt{3}$，三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且A为钝角．
（1）若b+c=2+$\sqrt{3}$，求角A，a；
（2）若f（B）=sinBsinC，求f（B）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积公式即可求出A．若b+c=2+$\sqrt{3}$，利用余弦定理即可求a；
（2）求出B+C=$\frac{π}{6}$，用C表示B，利用两角和差的正弦公式进行化简即可求f（B）的值域．

解答 解：（1）∵bc=2$\sqrt{3}$，三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即sinA=$\frac{1}{2}$
∵A为钝角，
∴A=$\frac{5π}{6}$．
若b+c=2+$\sqrt{3}$，
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{5π}{6}$=（2+$\sqrt{3}$）²-4$\sqrt{3}$-2×$2\sqrt{3}$×（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$）=7+4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$+6=13，
则a=$\sqrt{13}$；
（2）∵A=$\frac{5π}{6}$．
∴B+C=$\frac{π}{6}$，则C=$\frac{π}{6}$-B，0＜B＜$\frac{π}{6}$，
∵f（B）=sinBsinCsinBsin（$\frac{π}{6}$-B）=sinB（$\frac{1}{2}$cosB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）=$\frac{1}{2}$sinBcosB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²B=$\frac{1}{4}$sin2B-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1-cos2B}{2}$
=$\frac{1}{4}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinB-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（B+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∵0＜B＜$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜0，
则sin（-$\frac{π}{6}$）＜sin（B-$\frac{π}{6}$）＜0，
即$-\frac{1}{2}$＜sin（B-$\frac{π}{6}$）＜0，
则-$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$sin（B-$\frac{π}{6}$）＜0，
则-$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜$\frac{1}{2}$sin（B-$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
即f（B）的值域为（-$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．