Question

【题目】已知平面区域 恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．
（1）试求圆C的方程．
（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知此平面区域表示的是以

O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，

且△OPQ是直角三角形，

所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是 ，

所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5

（2）解：设直线l的方程是：y=x+b．

因为 ，所以圆心C到直线l的距离是 ，

即 =

解得：b=﹣1 ．

所以直线l的方程是：y=x﹣1

【解析】（1）根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．（2）设直线l的方程是：y=x+b．根据CA⊥CB，可知圆心C到直线l的距离，进而求得b，则直线方程可得．
【考点精析】掌握一般式方程和圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）；圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程．