题目内容
【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F并且经过点A(1,﹣2).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过F作倾斜角为45°的直线l,交抛物线C于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN的面积.
【答案】
(1)解:把点A(1,﹣2)代入抛物线C:y2=2px(p>0),可得(﹣2)2=2p×1,解得p=2.
∴抛物线C的方程为:y2=4x
(2)解:F(1,0).
设M(x1,y1),N(x2,y2).
直线l的方程为:y=x﹣1.
联立 ,
化为x2﹣6x+1=0,
∴x1+x2=6,x1x2=1.
∴|MN|= =
=8.
原点O到直线MN的距离d= .
∴△OMN的面积S= =
=2
【解析】(1)把点A(1,﹣2)代入抛物线C:y2=2px(p>0),解得p即可得出.(2)F(1,0).设M(x1 , y1),N(x2 , y2).直线l的方程为:y=x﹣1.与抛物线方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式可得:|MN|= .利用点到直线的距离公式可得:原点O到直线MN的距离d.利用△OMN的面积S=
即可得出.
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