题目内容
【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω,0,|φ|< )的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数F(x)=3[f(x﹣ )]2+mf(x﹣
)+2在区间[0,
]上有四个不同零点,求实数m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)根据f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知,
A=1, =
﹣
=
,
∴T=π,
∴ω= =2;
由“五点法画图”知,
2× +φ=
,解得φ=
;
∴函数f(x)=sin(2x+ );
(Ⅱ)∵f(x﹣ )=sin(2x﹣
+
)=sin2x,
∴函数F(x)=3[f(x﹣ )]2+mf(x﹣
)+2
=3sin2(2x)+msin2x+2;
在区间[0, ]上有四个不同零点,
设t=sin2x,由x∈[0, ],得2x∈[0,π],即sin2x∈[0,1],
∴t∈[0,1],
令F(x)=0,则3t2+mt+2=0在[0,1]上有两个不等的实数根,
令g(t)=3t2+mt+2
则由 ,解得﹣5<m<﹣2
;
∴实数m的取值范围是﹣5<m<﹣2
【解析】(Ⅰ)根据f(x)的部分图象求出A、ω以及φ的值即可;(Ⅱ)求出f(x﹣ )=sin2x,化简函数F(x),
根据题意设t=sin2x,则由x∈[0, ]时t∈[0,1],
把F(x)=0化为3t2+mt+2=0在[0,1]上有两个不等的实数根,
由此求出实数m的取值范围.
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