Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．
（1）当a=0时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当a=1时，讨论函数y=f（x）的奇偶性；
（3）设a≠0，函数y=f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，

y=f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）

（2）解：当a=1时，f（x）=x|x﹣1|

∵f（1）=0，f（﹣1）=﹣2，

f（1）≠﹣f（﹣1）

∴y=f（x）不是奇函数；

又f（1）≠f（﹣1）

∴y=f（x）不是偶函数

（3）解： ，

①当a＞0时，图象如图1所示

由 得

，

②当a＜0时，图象如图2所示．

由 ，得 ，

∴

【解析】（1）转化为分段函数由二次函数的性质可得增减性区间。（2）利用奇偶函数的定义可得出结果。（3）对a分情况讨论由函数图象可得区间的边界点m,n的取值范围。