题目内容
【题目】已知a∈R,函数f(x)=x|x﹣a|.
(1)当a=0时,写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)当a=1时,讨论函数y=f(x)的奇偶性;
(3)设a≠0,函数y=f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出m,n的取值范围(用a表示).
【答案】
(1)解:当a=0时,
y=f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞)
(2)解:当a=1时,f(x)=x|x﹣1|
∵f(1)=0,f(﹣1)=﹣2,
f(1)≠﹣f(﹣1)
∴y=f(x)不是奇函数;
又f(1)≠f(﹣1)
∴y=f(x)不是偶函数
(3)解: ,
①当a>0时,图象如图1所示
由 得
,
②当a<0时,图象如图2所示.
由 ,得
,
∴
【解析】(1)转化为分段函数由二次函数的性质可得增减性区间。(2)利用奇偶函数的定义可得出结果。(3)对a分情况讨论由函数图象可得区间的边界点m,n的取值范围。
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