题目内容
10.已知命题p:方程$\frac{x^2}{m+1}-\frac{y^2}{m-3}=1$表示焦点在x轴上的双曲线;命题q:函数$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+mx$在[2,5]上单调递增.(Ⅰ)若p为真命题,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)若(?p)∧q为真命题,求实数m的取值.
分析 (Ⅰ)根据双曲线的定义即可求出m的范围;
(Ⅱ)当q为真命题时,利用导数求出参数m的范围,再根据符合命题,(?p)∧q为真命题,得到p假q真,继而求出m的范围.
解答 解:(Ⅰ)∵$\frac{x^2}{m+1}-\frac{y^2}{m-3}=1$表示焦点在x轴上的双曲线
∴$\left\{\begin{array}{l}m+1>0\\ m-3>0\end{array}\right.$,…(2分)
解得m>3…(4分)
∴p为真命题时,实数m的取值范围为(3,+∞),)
(Ⅱ)∵$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+mx$在[2,5]上单调递增,
∴f'(x)=x2-2x+m≥0在[2,5]上恒成立,
即m≥-x2+2x在[2,5]上恒成立.
∵-x2+2x=-(x-1)2+1
∴函数g(x)=-x2+2x在[2,5]上单调递减
∴g(x)max=g(2)=-4+4=0,
即 q:m≥0
∵(?p)∧q为真命题,
∴p假q真,
∴$\left\{\begin{array}{l}m≤3\\ m≥0\end{array}\right.$,
∴0≤m≤3
∴(?p)∧q为真命题,实数a的取值范围为[0,3].
点评 本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系,解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
20.函数y=-cos($\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$)的单调递增区间是( )
A. | [2kπ-$\frac{4}{3}$π,2kπ-$\frac{2}{3}$π](k∈Z) | B. | [4kπ-$\frac{4}{3}$π,4kπ+$\frac{2}{3}$π](k∈Z) | ||
C. | [$2kπ+\frac{2}{3}π,2kπ+\frac{8}{3}π$](k∈Z) | D. | [$4kπ+\frac{2}{3}π,4kπ+\frac{8}{3}π}]$](k∈Z) |
18.函数y=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$的单调递减区间是( )
A. | (-∞,0) | B. | (-∞,2) | C. | (2,+∞) | D. | (0,2) |
15.从同一顶点出发的三条棱长分别为1、1、$\sqrt{2}$的长方体的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为 ( )
A. | $\frac{32π}{3}$ | B. | 4π | C. | 2π | D. | $\frac{4π}{3}$ |