题目内容
【题目】某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中3人答对的概率分别为
,
,
,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示乙队的总得分. (Ⅰ)求ξ的分布列和数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
【答案】解:由题意知,ξ的可能取值为0,10,20,30,
由于乙队中3人答对的概率分别为 ,
,
,
P(ξ=0)=(1﹣ )×(1﹣
)×(1﹣
)=
,
P(ξ=10)= ×(1﹣
)×(1﹣
)+(1﹣
)×
×(1﹣
)+(1﹣
)×(1﹣
)×
=
=
,
P(ξ=20)= ×
×(1﹣
)+(1﹣
)×
×
+
×(1﹣
)×
=
=
,
P(ξ=30)= ×
×
=
,
∴ξ的分布列为:
ξ | 0 | 10 | 20 | 30 |
P |
∴Eξ=0× +10×
+20×
+30×
=
.
(Ⅱ)由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”,B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”,可知A、B互斥.
又P(A)= =
,P(B)=
×
×
=
,
则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为
P(A+B)=P(A)+P(B)= =
【解析】(Ⅰ)由题意知,ξ的可能取值为0,10,20,30,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ;(Ⅱ)由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”,B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”,可知A、B互斥.利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
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