Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，且0＜x1＜x2 ， 给出下列命题： ① ＜1
②x2f（x1）＜x1f（x2）
③当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）
④x1+f（x1）＜x2+f（x2）
其中正确的命题序号是 ．

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：f′（x）=lnx+1，

x∈（0， ）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0， ）单调递减，

x∈（ ，+∞），f′（x）＞0，．∴f（x）在（ ，+∞）上单调递增．

①令g（x）=f（x）﹣x=xlnx﹣x，

则g′（x）=lnx，设x1，x2∈（1，+∞），

则g′（x）＞0，∴函数g（x）在（1，+∞）上是增函数，

∴由x2＞x1得g（x2）＞g（x1）；

∴f（x2）﹣x2＞f（x1）﹣x1，∴ ＞1；故①错误；

②令g（x）= =lnx，则g′（x）= ，（0，+∞）上函数单调递增，

∵x2＞x1＞0，∴g（x2）＞g（x1），∴x2f（x1）＜x1f（x2），即②正确，

③当lnx1＞﹣1时，f（x）单调递增，

∴x1f（x1）+x2f（x2）﹣2x2f（x1）=x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]=（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0

∴x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），

∵x2f（x1）＜x1f（x2），

利用不等式的传递性可以得到x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1），故③正确．

④令h（x）=f（x）+x=xlnx+x，则h′（x）=lnx+2，

∴x∈（0， ）时，h′（x）＜0，

∴函数h（x）在（0， ）上单调递减，

设x1，x2∈（0， ），所以由x1＜x2得h（x1）＞h（x2），

∴f（x1）+x1＞f（x2）+x2，故④错误；

所以答案是：②③

【考点精析】利用命题的真假判断与应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．