题目内容

【题目】已知函数f(x)=xlnx,且0<x1<x2 , 给出下列命题: ① <1
②x2f(x1)<x1f(x2
③当lnx>﹣1时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1
④x1+f(x1)<x2+f(x2
其中正确的命题序号是

【答案】②③
【解析】解:f′(x)=lnx+1,

x∈(0, )时,f′(x)<0,∴f(x)在(0, )单调递减,

x∈( ,+∞),f′(x)>0,.∴f(x)在( ,+∞)上单调递增.

①令g(x)=f(x)﹣x=xlnx﹣x,

则g′(x)=lnx,设x1,x2∈(1,+∞),

则g′(x)>0,∴函数g(x)在(1,+∞)上是增函数,

∴由x2>x1得g(x2)>g(x1);

∴f(x2)﹣x2>f(x1)﹣x1,∴ >1;故①错误;

②令g(x)= =lnx,则g′(x)= ,(0,+∞)上函数单调递增,

∵x2>x1>0,∴g(x2)>g(x1),∴x2f(x1)<x1f(x2),即②正确,

③当lnx1>﹣1时,f(x)单调递增,

∴x1f(x1)+x2f(x2)﹣2x2f(x1)=x1[f(x1)﹣f(x2)]+x2[f(x2)﹣f(x1)]=(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0

∴x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),

∵x2f(x1)<x1f(x2),

利用不等式的传递性可以得到x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1),故③正确.

④令h(x)=f(x)+x=xlnx+x,则h′(x)=lnx+2,

∴x∈(0, )时,h′(x)<0,

∴函数h(x)在(0, )上单调递减,

设x1,x2∈(0, ),所以由x1<x2得h(x1)>h(x2),

∴f(x1)+x1>f(x2)+x2,故④错误;

所以答案是:②③

【考点精析】利用命题的真假判断与应用对题目进行判断即可得到答案,需要熟知两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

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