题目内容
【题目】已知是圆锥的高,
是圆锥底面的直径,
是底面圆周上一点,
是
的中点,平面
和平面
将圆锥截去部分后的几何体如图所示.
(1)求证:平面平面
;
(2)若,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)连结,易证
,
,从而可证明
平面
,进而可证明平面
平面
;
(2)先证明,
,
两两垂直,进而建立如图所示的空间直角坐标系,利用法向量的方法求得二面角
的余弦值即可.
(1)连结,则
,
又因为是
的中点,所以
.
因为是圆锥的高,所以
平面
,
平面
,所以
,
又,
所以平面
,
又平面
,
所以平面平面
.
(2)由已知可得,
所以为正三角形,
.
又因为,所以
,所以
.
于是分别以,
,
为
轴,
轴,
轴建立如图所示空间直角坐标系,
则,
,
,
,
.
则,
,
.
设平面的法向量为
,
由得:
.
令,得
,
,
即.
设平面的法向量为
,
由得:
,
令,得
,
,即
.
设二面角的大小为
,由图可知,
,则
.
故所求二面角的余弦值为
.
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