题目内容

【题目】对于两个定义域相同的函数,若存在实数使,则称函数是由“基函数”生成的.

1生成一个偶函数,求的值;

2)若)生成,求的取值范围;

3)试利用“基函数”生成一个函数,使满足下列条件:①是偶函数;②有最小值1,请求出函数的解析式并进一步研究该函数的单调性(无需证明).

【答案】10;(2;(3,在递减,在递增

【解析】

1)由列方程,根据为偶函数求得的关系式,进而求得的值.

2)由列方程组,化简后求得的关系式,利用导数求得的取值范围.

(3)构造函数,并证得其奇偶性和单调性.

1)由为偶函数可知,所以.

2)由,所以,由于,所以可化简得,所以.构造函数,所以函数上递增,在上递减,所以函数在处,有极大值,在处有极小值.所以的取值范围是.

3)构造函数,所以为偶函数.由于,所以有最小值符合题意.递减,在递增.

另补证明:由于为偶函数,只需求得上的单调性.构造函数,由于时,,故,所以函数上递增.根据复合函数单调性同增异减可知,函数上递增.根据为偶函数可知,函数递减.

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