题目内容
【题目】对于两个定义域相同的函数、
,若存在实数
、
使
,则称函数
是由“基函数
、
”生成的.
(1)和
生成一个偶函数
,求
的值;
(2)若由
,
(
且
)生成,求
的取值范围;
(3)试利用“基函数,
”生成一个函数
,使
满足下列条件:①是偶函数;②有最小值1,请求出函数
的解析式并进一步研究该函数的单调性(无需证明).
【答案】(1)0;(2);(3)
,在
递减,在
递增
【解析】
(1)由列方程,根据
为偶函数求得
的关系式,进而求得
的值.
(2)由列方程组,化简后求得
的关系式,利用导数求得
的取值范围.
(3)构造函数,并证得其奇偶性和单调性.
(1)由为偶函数可知
,所以
.
(2)由得
,所以
,由于
,所以可化简得
,所以
.构造函数
,
,所以函数
在
上递增,在
上递减,所以函数在
处,有极大值
,在
处有极小值
.所以
的取值范围是
.
(3)构造函数,
,所以
为偶函数.由于
,所以
有最小值
符合题意.
在
递减,在
递增.
另补证明:由于为偶函数,只需求得
上的单调性.构造函数
,
,由于
时,
,故
,所以函数
在
上递增.根据复合函数单调性同增异减可知,函数
在
上递增.根据
为偶函数可知,函数
在
递减.
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练习册系列答案
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月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)请利用所给数据求违章人数与月份
之间的回归直线方程
;
(2)预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式: ,
.
参考数据: .